面積問題／大小の円で切り取られる三日月形の領域

ネットで見付けた面積問題。単純な形なのに激ムズなのですが、と言うか中学入試との噂もあるけど出所は不明。

解答が三角関数の逆関数になってしまうので、流石に中学入試はないかな？

それか、もしかしたら面積を求める問題ではなく、同じ面積の図形を答えよ、とかなのかも。（違うかも）小さい円と大きい方のおうぎ形の面積は実は同じなので、三日月の図形と同じ面積は…？

あそことあそことあそこ、ですね。（図をよく見てみれば分かるので、考えてみて下さい）

でも、面積を求めるとなると、最低でも三角関数の逆関数の知識までは必要です。いや、もしかしたら自分が思い付かないだけで、小学生でも分かるような神解法があるのかも…⁉︎

自分にはそんな神解法は思い付かないので、地道に図形を分割して考えていきます。

図形の長さが不明だったので、とりあえず小さい円の半径を1、大きい円（おうぎ形）の半径を2にしました。

【解法１（三角関数使用）】

円の一部を切り取るときは、中心からの角度がどうしても必要になります。おうぎ形を足したり引いたり、三角形で埋めたりと、計算出来そうなところまで分割していきます。

尚、④以降の工程は、2枚目の画像に記した方法の方が分かりやすいです。

一応、答えが出ました。下の数値は電卓アプリで計算したもの。（電卓は度数表記だったのでradへの変換が面倒臭かった）正方形が4なので良さげな感じ。

arccosが混じってますが、後述の解法ではarc sinになってます。弧度に直すとどちらも同じ値です。

④以降の計算で三角関数と逆関数を行ったり来たりしていて頭の中がぐちゃぐちゃになってしまったので、図形を使って三角比を求めてみました。こちらの方が自分には分かりやすかったです。sinかcosか悩む必要もないですし。

答えは、解法2に合わせてarcsinに統一しました。表記上の違いはありますが、同じ値になっています。

【解法2（積分法使用）】

高校数学であれば、積分が使えますね。

むしろ積分しやすそうな形に見えます。（見えるだけかもしれませんが）

線対称の図形なので斜めに置いてみます。円の式も簡単に求められます。

ほら、面積を求める式が出来ました。ここまでは楽だった…

あとはこれを解くだけなのですが、ここからが大変…積分の導出は省略しました。m(._.)m

 解法1と同じ答えです。多分合っているでしょう。（実はここまで散々苦労した）

小学生向けの解法はとうとう思い付きませんでした。三角関数なしの答えを出せたりするのかなあ？

この解法が分かる小学生の皆さん、是非ご教授お願いします！