因数分解／たすきがけが面倒なときの裏技？…らしい

気になったショート動画があったので少しだけ。

 

youtube.com

 

え？何故そうなる！？

私にはまったくわからなかったのですが、コメント欄は称賛コメが多かった。YouTubeのノリかもしれないけど。

もちろん頭の良い人ならすぐに察するのかもしれないけど、私には理解出来なかったので、あるコメントの　x=y/3　という文字を見て理解。そういうことね。これ、ｘが別物じゃん！

いや、ちゃんと理解した人どれくらいいるのだろう？意味も分からずにやり方だけ覚えるのって危険だよ。テクニックなんていずれ忘れるからね。

というわけで、私なりの解説を。

 

たすきがけを使わずに因数分解する裏技

　　　　3x²+5x+2

のようにx²の係数が１でない場合、たすきがけがちょっと面倒に思えてしまうかもしれない。

なのでx²の係数を１にしてみます。

といっても、ただ３で割った（括った）だけでは

　　　　3(x²+5/3･x+2/3)

となり、他の項の係数が分数になってしまい、余計に扱い辛い。

なので　x=y/3　を代入してみます。

　　　　3x²+5x+2 = 1/3･y²+5/3･y+2

　　　　　　　　　　= 1/3･(y²+5y+6)

　　　　　　　　　　=1/3･(y+2)(y+3)      　……①

つまり、y²+5y+6　の因数分解がそのままxの式にも当てはまるわけです。

xに戻すには　y=3x を代入して

　　　　①　　　　　=1/3･(3x+2)(3x+3)

　　　　　　　　　　=(3x+2)(x+1)

 

これの途中経過をすっ飛ばしたのが、動画のテクニックですね。😅

飛ばしすぎでは…

 

x=y/3 とおいてx²の係数３で割っておくことで、真ん中の項（xの項）の係数に変化がないように見えます。なのであたかも　x²の係数３を後ろの項（定数項）に移動させたように錯覚出来ます。いや、分かった上で使うならいいと思うけど…

求めてから検算はした方がよいです。とりあえず私は使わないかな…

高校数学／複素数／虚数解を持つ高次式の計算（ド・モアブルの定理）

自分が学生の頃は複素数は高校数学の単元に入っていなくて大学で習ったのですが（今も受験テクニックとして使うのみなのかな？）、ド・モアブルなんて習ったかなぁ？😓忘れてるだけかもだけど。

というわけで分からない部分はネットで調べたりしてます。YouTubeも参考にさせて貰っているのですが、鈴木貫太郎先生のチャンネルの最近の動画で虚数解を持つ高次式の計算を扱っていました。ド・モアブルもこちらのチャンネルで理解したので、見た瞬間、解けそう！と思いました。大抵は途中の計算ではまるのですが。😓こちらのチャンネル、受験数学が主でレベルは高めですが（コメント欄も別解を解いたりしている猛者揃い）、さくさく解説されていて見易いので興味のある問題があったら見させて頂いています。

 

 

ド・モアブルが何かは後述するとして、以前見たx³=1 の解を求めるみたいな問題（どの動画だったか覚えていないのですが）では図を描くだけですぐに解を導いていました。

一応、自分が理解した範囲で解説すると、以下のように３つの解は原点を中心とする正三角形の頂点となっています。

 

一応、ド・モアブルの定理が全ての整数ｎにおいて成立することも確認。（理解している人は読み飛ばして下さい。）

藤田医科大の入試問題

ここから動画にあった問題の一つ。特殊な角度を持つ解の計算方法について。

ド・モアブルの式に代入していけば計算出来ますが、ここでは視覚イメージ重視で計算してみます。（その方が自分が理解しやすいので）

動画の解法は、そちらをご視聴下さい。

久留米大の入試問題

こちらも動画にあります。鈴木先生はさらに裏技使ってました。

ド・モアブル、実はやっていることは単純なのだけど、ちゃんと整理しながら進まないと計算間違いしやすい。（自分だけか？）

そしてやっぱり複素数より行列が先だと思うのだけど…

2023年度埼玉県公立高校入試　数学　解いてみた

神奈川県、東京都に続き、解いてみました。

比較的易しめ。もう少し発展問題が欲しい気もしますが、神奈川県のようにふるい落とすための問題になっているのもどうかと思うので、これはこれでありかな？余白が大きいことが嬉しい。但し、数学得意な子は満点取れる問題なのでケアレスミスをしないように。

2023年度東京都公立高校入試　数学　解いてみた

解いてみました。

難しすぎず、適度に思考を使う問題もあり良問が多かった印象です。（神奈川県はどうしてああなった）

次頁の［3］問2、問3は書き込んでしまいましたが、見辛いので別紙を参照して下さい。

図形を綺麗に描こうとするとストレスが溜まります。段々雑になってしまいすみません。

2023年度神奈川県公立高校入試　数学　解いてみた

解いてみました。

 

3/17　問３も記述追加しました。

 

問１

問２

問３

（ア）円を使った図形問題

（イ）箱ひげ図（追記）

近年、高校入試の出題範囲に追加された分野のようですね。

用語から面倒臭そうな印象を受け敬遠していましたが、定義だけ覚えれば意外と簡単でした。データの偏りを調べるための手法なのですね。

複数のデータの集合を比較する際（このケースでは議案ｘ、ｙ、ｚの３つの集合）、ヒストグラムをいくつも見比べるよりも箱ひげ図を並べた方が見易いですものね。

（ウ）グラフを使った速度問題

傾きが速度を意味するのですが、グラフの読み方さえ理解すれば簡単なので確実に取り合いところ。きはじに頼っていると辛いかも。

（エ）図形の面積問題

三角形の相似や合同を使って線分の長さの比を求め、面積比を求めていきます。求めたい線分比を含む三角形を見付けるのがポイント。

 

問４　一次関数と二次関数を含むグラフ

座標や式を利用して不明な値を埋めていく。やっていることは単純なのだが、計算手順が多いのでケアレスミスに注意。(直線EFの式が後続問題と無関係なのが神奈川県クオリティ)





問５　確率問題

問６　立体図形

平面で切り取ったり、展開したり。平面の選び方もポイントですね。

円錐の表面積の公式を塾で習う人もいるかもしれませんが、後続の問題で結局計算過程が必要になるので、公式なしに導き出せるようにしておいた方がよいと思います。

特に最後の問題は角度が分からないと絶対出せない（自分も角度出すまでは悩んだ）ので、割り合いの考え方が理解出来ている必要があります。

 

高校数学／合同式　2020一橋大学

２０２０年度一橋大学の入試問題です。かなり手強かった。ネタバレ？見ても理解するのに時間が掛かりました。解法は人によって様々なようですが、自分なりに理解した方法をなるべく分かり易く記述しました。少しでも参考になれば幸いです。

自分は数式だけだと頭に入って来ないので図？を書いたりしながら、頭の中を整理してます。

この問題の時間配分どうなっているのだろう？時間内に解ける気がしない…

（１）は確実に取れるようにしましょう。（２）は思考過程が重視されるのではないかと思います。（希望）

相当訓練しないと時間内に解くの難しそう。不確定要素が多いので試行錯誤しながら条件を絞っていくしかないのですが、計算手順を覚えるよりも、何のためにそれをするのか理解することが大事だと思います。


やっと解けたのに、それならmod2023の場合は？などと言う疑問が。
同じような方法で出せそうな気もする…指数を減らせばいいだけだし…（やめとけ）

力づくで解いてみたけど面倒なだけで、特に新しい発見はありませんでした。答え合わせが出来ないので合ってるかすら分からん。

とりあえず10の10乗くらいまでならなんとか計算出来ることが分かりました。しかし、それ以上は厳しそうです。（もっとスマートな方法もあるようですが）そんな無茶な問題が出ないことを願っておきます。