高校数学／合同式は幼稚園で
スミマセン、タイトル盛りました。
でも、嘘ではないです。釣り要素は入ってます。
？？？
これで理解出来た人はすごく頭の良い人だと思うので回れ右して下さい。
まず、合同式が余りについて扱う等式のようなものだと言うのは誰でも想像が付きます。でも、‘＝’とは似て非なるもの。そこで混乱してしまいがちです。
ｍｏｄはプログラムや表計算でもお馴染みの記号で、“余りの数そのもの”を返すようなイメージがあります。
例えば、８÷７の計算において、mod（８，７）＝１みたいなイメージ。（書式はプログラミング言語により違います）
でも、上の合同式は別物です。では何を返すのか？
ここで、幼稚園児たちに登場してもらいます。
とある幼稚園では７クラスあるとします。その幼稚園には変わったルールがあって、クラス毎に一列に並ばせて前から順に出席番号を付けています。（下表）
こんな幼稚園があるかはともかく、例えば、さくら組の１６番と２３番の子はその数を７で割ると２余ります。
これを合同式に置き換えると
１６≡２３≡２（mod７）
となるイメージ。つまりこの式の値は数値ではなく、“さくら組”です。
２≡９≡１６≡２３≡…≡２１２（mod７）
３０人だとこんな数になるという無駄な計算
尚、書式の明確なルールは不明ですが、上の式は
２（mod７）≡９（mod７）≡１６（mod７）≡…
の（）を省略したものと思われます。式のどこかに書いてあれば良さそうですが、最後に書くのが一般的なようです。
そして、余りの数を問われた時は、一番目の子達が代表となります。（ようするに０から始まる一番小さい整数）
９≡２（mod７）
→余りは２ですが、この式自体の値は２ではなく“さくら組”であることに注意。
そして、この幼稚園にはお化けが住み着いています。お化けが嫌なら妖精さんでもいいです。彼らには負の出席番号が付けられています。
あ、０番目はお化けになってしまう！
カレンダーを使っても良かったのですが、幼稚園の方が楽しそうだったので。カレンダーの場合は、合同式の値は“月曜日“などの縦のグループに相当します。
尚、他所の幼稚園では８列に並んだり、９列に並んだりするところもある…？かもしれません。
続き
合同式の性質について簡単にまとめました。
計算は単純なのですが、modの世界（何進法的な感覚）に慣れないと混乱しがちです。
合同式の計算をする上で必要なので、早めにこの感覚に慣れておきましょう。
例題を作ってみました。
直接計算するのが難しそうな値でも、合同式を使って余りを求めることが出来ます。
合同式の触りだけ記述するつもりが、理解を深めるために色々問題を漁ってみたところ思っていた以上に難解でした。
というわけで、入試問題をいくつかピックアップしてみます。
頭が固くてなかなかmodの世界に馴染めず大変でした。（油断すると大きな数字で頑張って計算してしまう）
忘れっぽいのでテクニックはすぐ忘れてしまいそうです。でも、理解したことはきっと忘れないでしょう。（たぶん）
他にも色々なやり方の問題を見付けたので気が向いたら載せるかも。mod、面倒臭いけどやればやるほど奥が深くて面白いです。
ユークリッドの互除法
だらだら前置き（急いでいる人は飛ばして下さい）
実を言うと私が現役だった頃と数学のカリキュラムが大幅に変わっていて、習っていない単元も多く（そのくせベクトルや数列がなくなった）、ユークリッドの互助法も知りませんでした。なので現在進行形で勉強しつつ、理解したことをまとめていきます。（需要あるのか？）
正直、今の数学教育ってテクニックの詰め込みばかりで、数学の一番の面白さ、分かる楽しさを感じられるのかな？と疑問に思ったりします。ここでは理解することを目的として解説してみます。（細かいミスがあっても目を瞑って下さい）
ユークリッドの互助法
WikipediaのGIFアニメを一分間ほどご覧下さい。あれが全てです。（終）
嘘です。でも、あのアニメが一番イメージしやすいと思うので是非見てみて下さい。
ここから例題です。適当に作ってみました。
整数の積で、2×3×5×7×11=2310 などとして作るだけなので簡単です。
公約数を持つ２つの整数、公約数を持たない（互いに素）２つの整数の二通り作れば例1、例2のような問題が出来るので是非やってみて下さい。（例2はよくばりすぎて後悔しました）
次に、ユークリッドの互助法を用いて一次不定方程式を解いてみます。
静止画だと分かりづらいな。動画にしたい。（するとは言ってない）
次に具体例を解いていきましょう。
単純作業なのですが、数字が大きくなると手順が増えて計算も煩雑になります。何のためにやっているか常に意識しておくことが大事。手順に振り回されないようにしましょう。（すごい大変だった）
問題を作るときは無理のない数を選びましょう。
ユークリッドの互助法を行ったり来たり（分割したり戻したり）することで一次不定方程式を解くなんて考えついた人天才ですね。
大変だったけど結構楽しめました。自分で問題作って解いてみるのお薦めです。
2023年度大学入学共通テスト 数学ⅠA 第４問 解いてみた
問題文がだらだらと続いて分かり辛いので手順をざっとまとめてみました。
⑴一種類の小さな長方形を並べて大きな長方形を作る問題。
①大きな長方形が正方形になる条件を求める。（最小公倍数）
② 大きな長方形の縦と横の長さの差が最小になる条件を求める。
③縦>横において②が成立するときの横の長さの最小値を求める。（整数問題）
⑵二種類の小さな長方形を並べて大きな長方形を作る問題。
①縦の辺について、大きな長方形が成立する条件を求める。（最小公倍数）
② 横の辺について、大きな長方形が成立する条件を求める。（最大公約数）
③ 大きな長方形が正方形である条件を求める。（最小公倍数）
④③が成立するときの辺の長さの最小値を求める。（整数問題）
⑵は⑴の発展問題。問題文に沿って解いていけば良いのだが、何故その条件なのかを踏まえて進まないと使う数字を間違えてしまいそうです。
第4問（1）
第4問（2）
2023年度大学入学共通テスト 数学ⅠA 第１問 解いてみた
第1問〔1〕
第1問〔1〕雑感
最初の不等式の範囲は式変形で求まりますが、グラフにすると一目瞭然です。（試験だとグラフ描く余裕はないかも）
その結果を次の式に適用して、代入し整理すれば文字式の範囲が求まります。
負の数の除算、乗算の際の不等号の向きや、無理数を含む式の除算に注意して変形します。
最後の文字式の比較問題はそれぞれの左辺を展開すると全部で６つの項が出てしまいますが、各項の符号を比較すると３つの式（ここではｘ、y、zとした）に集約出来ることに気付きます。
素直に問題に沿って解ける親切な問題だと思います。基本的な計算ルールを押さえておきましょう。
でも、最後の問題はまだ続きがありそうな感じがしました。何に応用するんだろう？
第1問〔2〕
第1問〔２〕雑感
（１）は平面、（２）は立体への応用（？）。一次元増えるだけで考える手順が格段に増えますが。
まずは求めたい図形の大体のイメージをつかんで、必要なパラメータを確認します。（（１）であれば底辺の長さと高さ、（２）底面積と高さ）
（２）のような立体の場合、なるべく単純化出来ないか考えます。ここでは面が切り取る円に注目し、球を半分に割った断面図（水色の枠の中参照）を書きました。
反省点としては、解き方が分かって突っ走ったものの、角度の取り方を間違えてドツボにはまりました。（素人あるある）問題はよく読みましょう、と言うのと、∠QPRとか何度も書くのがまどろっこしいのでθとかで置き換えてから計算した方が良かった気がします。
2022年度大学入学共通テスト 数学Ⅰ 第３問 解いてみた
難しい知識やテクニックは使っておらず、じっくり考えれば解ける問題だけど…
これ、時間配分どうなっているのだろう？
問題文も問題量も多過ぎない？(^^;
何ページも言ったり来たりしなければならないのは勘弁して欲しい。
問題自体は良問だと思うけど、入試でなくてもと言う気が…
動くグラフが二つもあると頭の中ゴチャゴチャになります。いかに早く正確に整理出来るかが鍵。頭の中だけで関係性を理解出来る稀有な人以外は、多少面倒臭くてもグラフを描いて概形を知ることが解決への一番の近道だと思います。
2022年度大学入学共通テスト 数学Ⅰ 第１問、第２問 解いてみた
ノートに書こうかと思ったけど問題文が長過ぎて嫌になったので問題用紙に書き込みました。需要あるか分からないけど折角なので貼っておきます。
序盤の問題ということもありそこまで難易度は高くないけど、問題文が長くて集中力が削がれそうだと思いました。受験生は何と戦わされているんだ…来年度はもうちょっと考えて欲しい。
（９ページは白紙）
